Atividade 2 - Aproximação do Valor de PI

         A partir da aproximação do cálculo de áreas estudado podemos calcular a área de uma circunferência utilizando o método de aproximação de áreas por polígonos.
        Como a circunferência é uma figura simétrica, pode-se calcular apenas a área de um quarto da circunferência. Assim, após concluir o cálculo da aproximação dessa área basta multiplicá-la por quatro obtendo assim a área total da circunferência.

        Como podemos relacionar a área aproximada obtida com o valor de PI?
        Sabemos que a área da circunferência é dada por: 

        Portanto, conhecendo o valor da área obtemos que:

        Com isso, esta atividade tem por objetivo utilizar o método de aproximação de áreas por polígonos. para calcular a aproximação da área de uma circunferência e a partir do resultado obtido calcular aproximações para o valor de PI.

Material necessário para o desenvolvimento da atividade:

            - Software: iGeom , disponível em: https://www.ime.usp.br/~leo/imatica/igeom/
            Pequeno manual de uso das ferramentas: https://www.ime.usp.br/~leo/imatica/igeom/manual/pt/botoes1.html?lang=pt
 

Metodologia:

        Primeiramente defini-se o raio da circunferência. Optamos por utilizar a circunferência de raio unitário, pois assim o valor da área obtido já seria o valor de PI.
        Utilizar o iGeom para calcular a aproximação da área da circunferência e a partir do resultado obter a aproximação do valo de PI.
        Para a primeira aproximação, tome o ponto médio do raio da circunferência para construir o trapézio e o triângulo, como mostra a construção abaixo:

        A primeira aproximação obtida para o valor de PI foi 2.73. Ainda não é uma boa aproximação.
        Para melhorá-la divida o raio da circunferência em intervalos menores. Como mostram as figuras abaixo:

        Abaixo segue a tabela com os valores aproximados de PI.

        Na medida em que aumentamos o número de divisões do raio da circunferência o valor de PI fica mais próximo ao valor que conhecemos.
        Quando calculamos o valor de PI estamos cometendo um erro. Como poderíamos calcular o quanto estamos errando?
 

Calculando o erro.

        Para calcular o valor do erro nessas aproximações vamos comparar o valor que obtemos com o valor que conhecemos de PI.
        Mas qual seria o melhor valor de PI para utilizar???
        Como sabemos, PI é um número irracional, por isso a sua representação decimal possui infinitas casas decimais. Dessa forma, vamos tomar um valor aproximado de PI, ou seja, um valor com finitas casas decimais.
        Mas qual seria um bom número de casas decimais para utilizar?
        Como as nossas aproximações foram obtidas com duas casas decimais, podemos utilizar o PI da calculadora do iGeom com três casas decimais. Assim, tomamos o valor para PI como sendo 3,142.
        Definimos então o erro como sendo: 

        (onde x é o valor aproximado de PI)
        Obtemos a tabela abaixo:

        Na medida em que aumentamos o número de divisões do raio da circunferência o erro diminui.