Atividade 1 - Descobrindo o Cálculo da Área de Mapas
Esta atividade tem por objetivo trazer a luz dos alunos a ideia inicial de integral, calculo de áreas através de subdivisões de uma determinada medida. Buscou-se nesta atividade a possibilidades de transdiciplinaridade, pois através da utilização de mapas podemos abordar elementos que tangem a matemática, geografia, história e física, sendo a oportunidade de um mesmo tema desencadear aprendizado em diferentes disciplinas um dos objetivos desta atividade.
O professor pode escolher mapas do bairro ou município onde se encontra a escola a ser aplicada esta atividade, fazendo com que os alunos tenham contato com a região em que vivem e proporcionando discussões sobre o que é uma escala de mapa, como são feitas as escalas de mapas, através da disciplina de geografia. Através da disciplina de história os alunos poderão pesquisar como se deu o desenho das divisas da cidade através da história e fatos que proporcionaram este desenho da cidade.
Materiais:
o Um mapa com escala de algum município brasileiro*
o Malha quadriculada impressa em transparência **
o Canetas para retroprojetor
* Caso seja escolhido outro mapa, deve-se obter em alguma outra fonte, diferente da que será citada adiante, o valor da área da cidade
** Para um baixo custo do projeto, pode-se optar por não utilizar a malha quadriculada impressa em transparência e a caneta de retro projetor, mas para isso será necessário que os alunos desenhem a malha no mapa, ou ainda, que utilizem folha de papel vegetal para fazer as malhas, o que faz com que o projeto demande mais tempo. Logo, para redução de tempo em partes que não são tão importantes como o desenho da malha, optou-se por imprimi-la em transparência.
Metodologia:
Lembramos que esta atividade pode ser amplamente adaptável a realidade da sala que será aplicada, por este motivo fica a cargo do professor optar por solicitar aos alunos fazerem esta atividade individualmente, em dupla, trio, quarteto...
A escolha do mapa:
É interessante para comparações que seja escolhido um único mapa para ser utilizado nesta atividade por toda a sala. Esta escolha pode ser feita pelos alunos, proporcionando discussões de quais mapas são “bons” candidatos para calcularmos a sua área, ou seja, quais mapas proporcionam um erro de cálculo menor.
Por exemplo, pode-se propor a discussão aos alunos dos seguintes casos:
o Se o mapa estiver em uma folha com uma escala 1:1000000 e outro em escala de 1:10, quais mapas, utilizando o método que será descrito a seguir e que deve ser apresentado ao aluno antes do começo da discussão sobre a escolha do mapa, é uma boa escolha para que não haja erros grandes nos cálculos e nos valores de áreas apresentados no mapa ou em sites do governo. Podem ser obtidos valores oficiais de áreas no site:
https://www.ipeadata.gov.br/ipeaweb.dll/ipeadata?Tick=569133000
o As fronteiras do mapa influenciam no calculo das áreas? Sim, pois se as fronteiras não estiverem bem definidas no mapa, provavelmente aparecerão erros de aproximação nos cálculos.
o É interessante sabermos a área oficial do município? Sim, pois podemos comparar nossas aproximações com as medidas oficiais. Pode-se propor uma pesquisa de como são oficialmente calculadas as áreas de territórios. Não abordaremos este tema aqui, pois senão sairemos do escopo deste projeto.
Sobre as malhas:
Optado pelas transparências, é necessário que os professores levem os quadriculados com diferentes tamanhos, por exemplo, cada quadrado em uma malha deve ter 1 cm de lado, em uma outra malha cada quadrado deve ter 0,5 cm de lado. As malhas básicas para o projeto são estas, mas caso o professor queira utilizar outras malhas e dispor de tempo, isso pode ser feito.
A malha será colocada em cima de cada mapa, iniciando pela malha que apresenta os quadrados com lado maior. Com a caneta para retroprojetor serão pintados os quadrados que tem alguma parte dentro do mapa, faz-se o mesmo para as outras malhas.
Sabendo quantos quadrados fora pintados e qual é a área representada pelo quadrado, podemos calcular a área da região. Depois de realizado os cálculos e comparado o valor da área com o dado da área oficial, pergunta-se, será que temos um modo de melhorar a precisão dos cálculos? Uma alternativa para a melhora da precisão e considerar apenas a metade da área dos quadrados que estiverem com apenas uma parte dentro do quadrado, mas é interessante que os alunos que mostrem alternativas para a melhoria no resultado das áreas.
Estes cálculos são aproximados e podemos verificar seus erros através do valor oficial, mas temos que lembrar que todas as medidas são aproximadas, pois toda medida apresenta um algarismo duvidoso, pode-se pedir para que o professor de física apresente aulas sobre introdução a medidas em física.
Exemplo:
Calculando aproximadamente a área da região metropolitana de São Paulo:
- Utilizando uma malha com 1 cm de lado em cada quadrado:
O mapa escolhido possui a seguinte escala: 1:5.000.000, ou seja, cada 1cm do mapa, representa 5 km.
Logo a área que cada quadrado de lado 1cm representa é de 25 km2.
Portanto, para descobrirmos a área aproximada do mapa, basta multiplicarmos o número de quadrados pintados (346 quadrados), pelo número da área que cada quadrado representa. Logo obtemos o valor aproximado da área em questão, 8650 km2.
Mas qual o erro cometido nesta aproximação?
Tomaremos que a medida da área divulgada oficialmente no site do governo é a correta, lembrando que até a medida oficial possui erros.
Área (oficial) = 7944 km2
Área (aprox.1) = 8650 km2
Então o erro de aproximação é de |7944-8650| = 706 km2
Calculemos o erro relativo para maiores comparações:
Erro (rel) = (|7944-8650|)/7944 = 8,9%
- Utilizando uma malha com 0.5 cm de lado em cada quadrado:
Logo a área que cada quadrado de lado 0,5 cm representa é de 6,25 km2.
Obtivemos 1299 quadrados pintados, logo aproximada é de 8119 km2.
Área (oficial) = 7944 km2
Área (aprox.2) = 8119 km2
Então o erro de aproximação é de 175 km2.
E o erro relativo é de Erro (rel) = 2,2%
Vejamos que nossa aproximação melhorou, o que aconteceria se diminuíssemos cada vez mais os quadrados da malha?