Atividade 3 - Calculando Algumas Áreas

        O conceito de integral de uma função, estudado no Ensino Superior, permite o cálculo exato de áreas delimitadas por funções. Este conceito é, na verdade, a formalização das idéias trabalhadas anteriormente, as quais tratam de aproximações de áreas de figuras irregulares por áreas de polígonos, e estas aproximações são tão melhores quanto maiores são as quantidades de lados dos polígonos ou, em outras palavras, quanto menores são as medidas dos lados desses polígonos. A integral é a formalização dessas ideias, quando o número de lados do polígono tende a infinito ou, quando a medida dos lados dos polígonos tende a zero, por isso, o cálculo exato.
        A notação utilizada para a integral, no intervalo [a,b], de uma função f(x) é:

        Tendo a função f em questão algumas particularidades como, por exemplo, não possuir raiz no intervalo [a,b], ser contínua nesse intervalo, a integral representa a área A entre o eixo das abcissas (eixo x) e a curva da função f(x), no intervalo [a,b]:

        Existem técnicas de integração variadas, conforme o tipo de função a se integrar, ou o intervalo em que se queira integrar uma função.
        Com essa ideia, se torna possível o cálculo de áreas complexas, por exemplo a área A da figura a seguir:

        Para isso, usamos basicamente dois conceitos, o de integral e o de equidecomponibilidade:

Onde, 

 No caso de uma função monomial f(x) = a.x^n, sua integral é dada por:

        Além disso, a integral da soma de funções é igual a soma das integrais das funções. Com isso, é possível calcular áreas delimitadas pelo eixo das abcissas e por funções polinomiais,

        No caso,

        mas isso, tendo em vista que a função f(x) possui as particularidades descritas anteriormente, necessárias para que a integral represente a área em questão.
        Façamos, agora, um estudo comparativo entre os cálculos exato e aproximado da área delimitada pelo eixo das abcissas e pela função f(x)= - x²+9.

        Primeiramente, calculemos as raizes da função: x1=3 e X2=-3. 

        Pelo cálculo exato, temos:

        Vejamos as aproximações.
        Por questão de comodidade, utilizamos o fato da existência de simetria da parábola em questão em relação ao eixo das ordenadas (eixo y), pensando nas aproximações vistas apenas de um lado, e em seguida multiplicamos por 2. Pensemos, então, no intervalo [0,3].
        Para calcular as aproximações, podemos utilizar o método dos trapézios, dividindo o intervalo [-3,3] em n partes iguais, no caso, façamos com n = 2,4,6. Assim, o intervalo [0,3] será divido em 1, 2 e 3 partes iguais, respectivamente.
        Os valore das bases dos trapézios são os valores de f(x) nos pontos de repartição do intervalo, e as alturas são as diferenças entre os valores de x nestas repartições, portanto, ao dividirmos o intervalo em n partes iguais devemos calcular esses valores para que seja possível o cálculo das áreas dos trapézios.
        Seja, então, A a área que se quer aproximar.
        Para n = 2, temos dois triângulos, e f(0) = 9, assim:

        Para n = 4, temos dois triângulos, dois trapézios, f(0) = 9 e f(3/2) =27/4

        Para n = 6, temos dois triângulos, quatro trapézios, f(0) = 9, f(1) = 8 e f(2) = 5 :

        Em resumo:

        Ao contrário da consideração feita no cálculo da aproximação feita para o número PI o valor da área em questão é exato, sendo assim, podemos pensar no erro cometido de acordo com o valor exato.
        Definimos então o erro como sendo:

        (onde x é o valor aproximado da área A, exata)
        Lembrando que o valor exato da área é 36 u.a., obtemos a tabela abaixo:

        Como o previsto, na medida em que aumentamos o número de divisões do intervalo, a aproximação da área em questão se torna mais eficiente, ou seja, o erro diminui.